Átomo similar al hidrógeno

Átomos con un solo electrón de valencia, por lo que se comportan como hidrógeno.

Un átomo similar al hidrógeno (o átomo hidrogénico ) es cualquier átomo o ion con un solo electrón de valencia . Estos átomos son isoelectrónicos con el hidrógeno . Ejemplos de átomos similares al hidrógeno incluyen, entre otros, el hidrógeno mismo, todos los metales alcalinos como Rb y Cs , metales alcalinotérreos individualmente ionizados como Ca + y Sr + y otros iones como He + , Li ²⁺ , y Be ³⁺ e isótopos de cualquiera de los anteriores. Un átomo similar al hidrógeno incluye un núcleo cargado positivamente que consta del núcleo atómico y los electrones del núcleo , así como un único electrón de valencia. Debido a que el helio es común en el universo, la espectroscopia del helio ionizado individualmente es importante en la astronomía EUV , por ejemplo, de las estrellas enanas blancas DO .

La ecuación de Schrödinger no relativista y la ecuación relativista de Dirac para el átomo de hidrógeno se pueden resolver analíticamente debido a la simplicidad del sistema físico de dos partículas. Las soluciones de la función de onda de un electrón se denominan orbitales atómicos similares al hidrógeno . Los átomos similares al hidrógeno son importantes porque sus orbitales correspondientes son similares a los orbitales atómicos del hidrógeno.

Otros sistemas también pueden denominarse "átomos similares al hidrógeno", como el muonio (un electrón que orbita alrededor de un antimuón ), el positronio (un electrón y un positrón ), ciertos átomos exóticos (formados con otras partículas) o átomos de Rydberg (en cuál electrón está en un estado de energía tan alto que ve al resto del átomo efectivamente como una carga puntual ).

Solución de Schrödinger

En la solución de la ecuación de Schrödinger, que no es relativista, los orbitales atómicos similares al hidrógeno son funciones propias del operador de momento angular de un electrón L y su componente z L _z . Un orbital atómico similar al hidrógeno se identifica únicamente por los valores del número cuántico principal n , el número cuántico de momento angular l y el número cuántico magnético m . Los valores propios de energía no dependen de l o m , sino únicamente de n . A estos hay que añadir el número cuántico de espín de dos valores m _s = ± 1 ⁄ 2 , sentando las bases para el principio de Aufbau . Este principio restringe los valores permitidos de los cuatro números cuánticos en configuraciones electrónicas de átomos de más electrones. En los átomos similares al hidrógeno, todos los orbitales degenerados de n y l fijos , mys que varían entre ciertos valores ( ver más abajo) forman una capa atómica .

La ecuación de Schrödinger de átomos o iones con más de un electrón no ha sido resuelta analíticamente, debido a la dificultad computacional impuesta por la interacción de Coulomb entre los electrones. Se deben aplicar métodos numéricos para obtener funciones de onda (aproximadas) u otras propiedades a partir de cálculos de mecánica cuántica. Debido a la simetría esférica (del hamiltoniano ), el momento angular total J de un átomo es una cantidad conservada. _{Muchos procedimientos numéricos parten de productos de orbitales atómicos que son funciones propias de los operadores de} un electrón L y Lz . Las partes radiales de estos orbitales atómicos son a veces tablas numéricas o, a veces, orbitales de Slater . Mediante acoplamiento de momento angular se construyen funciones propias de muchos electrones de J ² (y posiblemente S ^{2 ).}

En los cálculos químicos cuánticos, los orbitales atómicos similares al hidrógeno no pueden servir como base de expansión porque no están completos. Los estados del continuo no integrable al cuadrado (E > 0) deben incluirse para obtener un conjunto completo, es decir, para abarcar todo el espacio de Hilbert de un electrón. ^[1]

En el modelo más simple, los orbitales atómicos de átomos/iones similares al hidrógeno son soluciones de la ecuación de Schrödinger en un potencial esféricamente simétrico . En este caso, el término potencial es el potencial dado por la ley de Coulomb :

$${\displaystyle V(r)=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}}$$

• ε ₀ es la permitividad del vacío,
• Z es el número atómico (número de protones en el núcleo),
• e es la carga elemental (carga de un electrón),
• r es la distancia del electrón al núcleo.

Después de escribir la función de onda como producto de funciones:

$${\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=R_{nl}(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$

coordenadas esféricaslos armónicos esféricos ${\displaystyle Y_{\ell m}}$

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial R(r)}{\partial r}}\right)-{\frac {l(l+1)R(r)}{r^{2}}}\right]+V(r)R(r)=ER(r),}$$

masaelectrónmasa reducidaconstante de Planck ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \hbar }$

Diferentes valores de l dan soluciones con diferente momento angular , donde l (un número entero no negativo) es el número cuántico del momento angular orbital . El número cuántico magnético m (satisfactorio ) es la proyección (cuantizada) del momento angular orbital en el eje z . Consulte aquí los pasos que conducen a la solución de esta ecuación. ${\displaystyle -l\leq m\leq l}$

Función de onda y energía no relativista.

Conjunto completo de funciones propias hasta n  = 4. Los orbitales sólidos encierran el volumen por encima de un cierto umbral de densidad de probabilidad. Los colores representan la fase compleja. ${\displaystyle \psi _{nlm}}$

Además de l y m , un tercer número entero n > 0 surge de las condiciones de contorno impuestas a R. Las funciones R e Y que resuelven las ecuaciones anteriores dependen de los valores de estos números enteros, llamados números cuánticos . Es habitual subíndices de las funciones de onda con los valores de los números cuánticos de los que dependen. La expresión final de la función de onda normalizada es:

$${\displaystyle \psi _{n\ell m}=R_{n\ell }(r)\,Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$

$${\displaystyle R_{n\ell }(r)={\sqrt {{\left({\frac {2Z}{na_{\mu }}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n{(n+\ell )!}}}}}e^{-Zr/{na_{\mu }}}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)}$$

• ${\displaystyle L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}}$son los polinomios de Laguerre generalizados .
• ${\displaystyle a_{\mu }={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{\mu e^{2}}}={\frac {\hbar c}{\alpha \mu c^{2}}}={\frac {m_{\mathrm {e} }}{\mu }}a_{0}}$
  ¿ Dónde está la constante de estructura fina ? Aquí, está la masa reducida del sistema núcleo-electrón, es decir, donde está la masa del núcleo. Normalmente, el núcleo es mucho más masivo que el electrón (pero en el positronio , por ejemplo ). es el radio de Bohr . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ={{m_{\mathrm {N} }m_{\mathrm {e} }} \over {m_{\mathrm {N} }+m_{\mathrm {e} }}}}$ ${\displaystyle m_{\mathrm {N} }}$ ${\displaystyle \mu \approx m_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle \mu =m_{\mathrm {e} }/2}$ ${\displaystyle a_{0}}$
• ${\displaystyle E_{n}=-\left({\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}=-\left({\frac {Z^{2}\hbar ^{2}}{2\mu a_{\mu }^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}=-{\frac {\mu c^{2}Z^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}.}$
• ${\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\,}$La función es un armónico esférico .

la paridad debida a la función de onda angular es . ${\displaystyle {\left({-1}\right)}^{\ell }}$

Números cuánticos

Los números cuánticos , y son números enteros y pueden tener los siguientes valores: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle n=1,2,3,4,\dots }$$

$${\displaystyle \ell =0,1,2,\dots ,n-1}$$

$${\displaystyle m=-\ell ,-\ell +1,\ldots ,0,\ldots ,\ell -1,\ell }$$

Para obtener una interpretación teórica de grupos de estos números cuánticos, consulte este artículo . Entre otras cosas, este artículo explica por qué y en teoría de grupos . ${\displaystyle \ell <n\,}$ ${\displaystyle -\ell \leq m\leq \,\ell }$

Momento angular

Cada orbital atómico está asociado a un momento angular L. Es un operador vectorial , y los valores propios de su cuadrado L ² ≡ L _x ² + L _y ² + L _z ² están dados por:

$${\displaystyle {\hat {L}}^{2}Y_{\ell m}=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)Y_{\ell m}}$$

La proyección de este vector en una dirección arbitraria está cuantificada . Si la dirección arbitraria se llama z , la cuantificación viene dada por:

$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}Y_{\ell m}=\hbar mY_{\ell m},}$$

mL ²L _zel principio de incertidumbreL _xL _yL _zPor tanto ,xeyxyz

Estas relaciones no dan el momento angular total del electrón. Para eso, se debe incluir el espín del electrón.

Esta cuantificación del momento angular es muy paralela a la propuesta por Niels Bohr (ver modelo de Bohr ) en 1913, sin conocimiento de las funciones de onda.

Incluyendo la interacción giro-órbita

En un átomo real, el espín de un electrón en movimiento puede interactuar con el campo eléctrico del núcleo a través de efectos relativistas, un fenómeno conocido como interacción espín-órbita . Si se tiene en cuenta este acoplamiento, el espín y el momento angular orbital ya no se conservan , lo que se puede representar mediante la precesión de electrones . Por lo tanto, hay que sustituir los números cuánticos l , m y la proyección del espín m _s por números cuánticos que representen el momento angular total (incluido el espín ), j y m _j , así como el número cuántico de paridad .

Consulte la siguiente sección sobre la ecuación de Dirac para obtener una solución que incluya el acoplamiento.

Solución a la ecuación de Dirac

En 1928, Paul Dirac encontró en Inglaterra una ecuación que era totalmente compatible con la relatividad especial . La ecuación fue resuelta para átomos similares al hidrógeno el mismo año (asumiendo un potencial de Coulomb simple alrededor de una carga puntual) por el alemán Walter Gordon . En lugar de una función única (posiblemente compleja) como en la ecuación de Schrödinger, se deben encontrar cuatro funciones complejas que formen un bispinor . La primera y segunda funciones (o componentes del espinor) corresponden (en la forma habitual) a los estados de giro "arriba" y "abajo", al igual que los componentes tercero y cuarto.

Los términos "giro hacia arriba" y "giro hacia abajo" son relativos a una dirección elegida, convencionalmente la dirección z. Un electrón puede estar en una superposición de giro hacia arriba y hacia abajo, lo que corresponde al eje de giro que apunta en alguna otra dirección. El estado de giro puede depender de la ubicación.

Un electrón en las proximidades de un núcleo necesariamente tiene amplitudes distintas de cero para los componentes tercero y cuarto. Lejos del núcleo pueden ser pequeños, pero cerca del núcleo se vuelven grandes.

Las funciones propias del hamiltoniano , que significa funciones con una energía definida (y que por lo tanto no evolucionan excepto por un cambio de fase), tienen energías caracterizadas no sólo por el número cuántico n (como en el caso de la ecuación de Schrödinger), sino por n y a. número cuántico j , el número cuántico de momento angular total . El número cuántico j determina que la suma de los cuadrados de los tres momentos angulares es j ( j +1) (veces ħ ² , ver constante de Planck ). Estos momentos angulares incluyen tanto el momento angular orbital (que tiene que ver con la dependencia angular de ψ) como el momento angular de giro (que tiene que ver con el estado de giro). La división de las energías de estados del mismo número cuántico principal n debido a diferencias en j se llama estructura fina . El número cuántico del momento angular total j varía de 1/2 a n −1/2.

Los orbitales para un estado dado se pueden escribir usando dos funciones radiales y dos funciones angulares. Las funciones radiales dependen tanto del número cuántico principal n como de un número entero k , definido como:

${\displaystyle k={\begin{cases}-j-{\tfrac {1}{2}}&{\text{if }}j=\ell +{\tfrac {1}{2}}\\j+{\tfrac {1}{2}}&{\text{if }}j=\ell -{\tfrac {1}{2}}\end{cases}}}$

donde ℓ es el número cuántico azimutal que va de 0 a n −1. Las funciones angulares dependen de k y de un número cuántico m que varía de − j a j en pasos de 1. Los estados están etiquetados con las letras S, P, D, F, etc. para representar estados con ℓ igual a 0, 1, 2, 3, etcétera (ver número cuántico azimutal ), con un subíndice que da j . Por ejemplo, los estados para n =4 se dan en la siguiente tabla (estos irían precedidos por n , por ejemplo 4S _1/2 ):

Estos se pueden etiquetar adicionalmente con un subíndice que indica m . Hay 2 n ² estados con número cuántico principal n , 4 j +2 de ellos con cualquier j permitido excepto el más alto ( j = n −1/2) para el cual solo hay 2 j +1. Dado que los orbitales que tienen valores dados de n y j tienen la misma energía según la ecuación de Dirac, forman una base para el espacio de funciones que tienen esa energía.

La energía, en función de n y | k | (igual a j +1/2), es:

$${\displaystyle {\begin{array}{rl}E_{n\,j}&=\mu c^{2}\left(1+\left[{\dfrac {Z\alpha }{n-|k|+{\sqrt {k^{2}-Z^{2}\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-1/2}\\&\\&\approx \mu c^{2}\left\{1-{\dfrac {Z^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}\left[1+{\dfrac {Z^{2}\alpha ^{2}}{n}}\left({\dfrac {1}{|k|}}-{\dfrac {3}{4n}}\right)\right]\right\}\end{array}}}$$

(La energía, por supuesto, depende del punto cero utilizado). Tenga en cuenta que si Z pudiera ser mayor que 137 (más alto que cualquier elemento conocido), entonces tendríamos un valor negativo dentro de la raíz cuadrada para S _1/2 y Orbitales P _1/2 , lo que significa que no existirían. La solución de Schrödinger corresponde a reemplazar el paréntesis interior en la segunda expresión por 1. La precisión de la diferencia de energía entre los dos estados más bajos del hidrógeno calculada a partir de la solución de Schrödinger es de aproximadamente 9 ppm (90 μ eV demasiado bajo, de alrededor de 10 eV). , mientras que la precisión de la ecuación de Dirac para la misma diferencia de energía es de aproximadamente 3 ppm (demasiado alta). La solución de Schrödinger siempre coloca los estados en energías ligeramente más altas que la ecuación de Dirac, más precisa. La ecuación de Dirac da algunos niveles de hidrógeno con bastante precisión (por ejemplo, al estado 4P _1/2 se le da una energía de solo aproximadamente2 × 10 ⁻¹⁰ eV demasiado alto), otros menos (por ejemplo, el nivel 2S _1/2 es aproximadamente4 × 10 ⁻⁶ eV demasiado bajo). ^[2] Las modificaciones de la energía debidas al uso de la ecuación de Dirac en lugar de la solución de Schrödinger son del orden de α ² y por esta razón α se llama constante de estructura fina .

La solución de la ecuación de Dirac para los números cuánticos n , k y m es:

$${\displaystyle \Psi ={\begin{pmatrix}g_{n,k}(r)r^{-1}\Omega _{k,m}(\theta ,\phi )\\if_{n,k}(r)r^{-1}\Omega _{-k,m}(\theta ,\phi )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{n,k}(r)r^{-1}{\sqrt {(k+{\tfrac {1}{2}}-m)/(2k+1)}}Y_{k,m-1/2}(\theta ,\phi )\\-g_{n,k}(r)r^{-1}\operatorname {sgn} k{\sqrt {(k+{\tfrac {1}{2}}+m)/(2k+1)}}Y_{k,m+1/2}(\theta ,\phi )\\if_{n,k}(r)r^{-1}{\sqrt {(-k+{\tfrac {1}{2}}-m)/(-2k+1)}}Y_{-k,m-1/2}(\theta ,\phi )\\-if_{n,k}(r)r^{-1}\operatorname {sgn} k{\sqrt {(-k+{\tfrac {1}{2}}+m)/(-2k+1)}}Y_{-k,m+1/2}(\theta ,\phi )\end{pmatrix}}}$$

donde los Ω son columnas de las dos funciones armónicas esféricas que se muestran a la derecha. significa una función armónica esférica: ${\displaystyle Y_{a,b}(\theta ,\phi )}$

${\displaystyle Y_{a,b}(\theta ,\phi )={\begin{cases}(-1)^{b}{\sqrt {{\frac {2a+1}{4\pi }}{\frac {(a-b)!}{(a+b)!}}}}P_{a}^{b}(\cos \theta )e^{ib\phi }&{\text{if }}a>0\\Y_{-a-1,b}(\theta ,\phi )&{\text{if }}a<0\end{cases}}}$

en el cual hay un polinomio de Legendre asociado . (Tenga en cuenta que la definición de Ω puede implicar un armónico esférico que no existe, como , pero el coeficiente será cero). ${\displaystyle P_{a}^{b}}$ ${\displaystyle Y_{0,1}}$

A continuación se muestra el comportamiento de algunas de estas funciones angulares. El factor de normalización se omite para simplificar las expresiones.

${\displaystyle \Omega _{-1,-1/2}\propto {\binom {0}{1}}}$

${\displaystyle \Omega _{-1,1/2}\propto {\binom {1}{0}}}$

${\displaystyle \Omega _{1,-1/2}\propto {\binom {(x-iy)/r}{z/r}}}$

${\displaystyle \Omega _{1,1/2}\propto {\binom {z/r}{(x+iy)/r}}}$

De estos vemos que en el orbital S _1/2 ( k = −1), los dos componentes superiores de Ψ tienen un momento angular orbital cero como los orbitales S de Schrödinger, pero los dos componentes inferiores son orbitales como los orbitales P de Schrödinger. En la solución P _{1/2 (} k = 1), la situación se invierte. En ambos casos, el giro de cada componente compensa su momento angular orbital alrededor del eje z para dar el valor correcto del momento angular total alrededor del eje z .

Los dos espinores Ω obedecen a la relación:

${\displaystyle \Omega _{k,m}={\begin{pmatrix}z/r&(x-iy)/r\\(x+iy)/r&-z/r\end{pmatrix}}\Omega _{-k,m}}$

Para escribir las funciones y definamos un radio escalado ρ: ${\displaystyle g_{n,k}(r)}$ ${\displaystyle f_{n,k}(r)}$

${\displaystyle \rho \equiv 2Cr}$

con

${\displaystyle C={\frac {\sqrt {\mu ^{2}c^{4}-E^{2}}}{\hbar c}}}$

donde E es la energía ( ) dada anteriormente. También definimos γ como: ${\displaystyle E_{n\,j}}$

${\displaystyle \gamma \equiv {\sqrt {k^{2}-Z^{2}\alpha ^{2}}}}$

Cuando k = − n (que corresponde al j más alto posible para un n dado , como 1S _1/2 , 2P _3/2 , 3D _5/2 ...), entonces y son: ${\displaystyle g_{n,k}(r)}$ ${\displaystyle f_{n,k}(r)}$

${\displaystyle g_{n,-n}(r)=A(n+\gamma )\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}}$

${\displaystyle f_{n,-n}(r)=AZ\alpha \rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}}$

donde A es una constante de normalización que involucra la función gamma :

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {2n(n+\gamma )}}}{\sqrt {\frac {C}{\gamma \Gamma (2\gamma )}}}}$

Observe que debido al factor Zα, f ( r) es pequeña en comparación con g ( r ). Observe también que en este caso la energía viene dada por

${\displaystyle E_{n,n-1/2}={\frac {\gamma }{n}}\mu c^{2}={\sqrt {1-{\frac {Z^{2}\alpha ^{2}}{n^{2}}}}}\,\mu c^{2}}$

y la constante de decaimiento radial C por

${\displaystyle C={\frac {Z\alpha }{n}}{\frac {\mu c^{2}}{\hbar c}}.}$

En el caso general (cuando k no es − n ), se basan en dos polinomios de orden de Laguerre generalizados y : ${\displaystyle g_{n,k}(r){\text{ and }}f_{n,k}(r)}$ ${\displaystyle n-|k|-1}$ ${\displaystyle n-|k|}$

${\displaystyle g_{n,k}(r)=A\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho L_{n-|k|-1}^{(2\gamma +1)}(\rho )+(\gamma -k){\frac {\gamma \mu c^{2}-kE}{\hbar cC}}L_{n-|k|}^{(2\gamma -1)}(\rho )\right)}$

${\displaystyle f_{n,k}(r)=A\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}\left((\gamma -k)\rho L_{n-|k|-1}^{(2\gamma +1)}(\rho )+Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}-kE}{\hbar cC}}L_{n-|k|}^{(2\gamma -1)}(\rho )\right)}$

con A ahora definida como

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {2k(k-\gamma )}}}{\sqrt {{\frac {C}{n-|k|+\gamma }}{\frac {(n-|k|-1)!}{\Gamma (n-|k|+2\gamma +1)}}{\frac {1}{2}}\left(\left({\frac {Ek}{\gamma \mu c^{2}}}\right)^{2}+{\frac {Ek}{\gamma \mu c^{2}}}\right)}}}$

Nuevamente, f es pequeña en comparación con g (excepto en r muy pequeña ) porque cuando k es positivo dominan los primeros términos y α es grande en comparación con γ− k , mientras que cuando k es negativo dominan los segundos términos y α es pequeña en comparación con γ −k .​ Tenga en cuenta que el término dominante es bastante similar a la solución de Schrödinger correspondiente: el índice superior del polinomio de Laguerre es ligeramente menor (2γ+1 o 2γ−1 en lugar de 2ℓ+1, que es el entero más cercano), al igual que la potencia de ρ (γ o γ−1 en lugar de ℓ, el entero más cercano). La caída exponencial es ligeramente más rápida que en la solución de Schrödinger.

El factor de normalización hace que la integral en todo el espacio del cuadrado del valor absoluto sea igual a 1.

orbital 1S

Aquí está el orbital 1S _1/2 , con giro hacia arriba, sin normalización:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\0\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}z/r\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x+iy)/r\end{pmatrix}}}$

Tenga en cuenta que γ es un poco menor que 1, por lo que la función superior es similar a una función de r exponencialmente decreciente , excepto que en r muy pequeño teóricamente llega al infinito. Pero el valor de el sólo supera 10 en un valor de r menor que el cual es un número muy pequeño (mucho menor que el radio de un protón) a menos que Z sea muy grande. ${\displaystyle r^{\gamma -1}}$ ${\displaystyle 10^{1/(\gamma -1)},}$

El orbital 1S _1/2 , con giro hacia abajo, sin normalización, resulta como:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}0\\(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x-iy)/r\\-iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}z/r\end{pmatrix}}}$

Podemos mezclarlos para obtener orbitales con el giro orientado en alguna otra dirección, como por ejemplo:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x-iy+z)/r\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x+iy-z)/r\end{pmatrix}}}$

que corresponde al eje de giro y momento angular que apunta en la dirección x. Sumar i veces el giro "abajo" al giro "arriba" da un orbital orientado en la dirección y.

Orbitales 2P 1/2 y 2S 1/2

Por poner otro ejemplo, el orbital 2P _1/2 , de giro hacia arriba, es proporcional a:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma -1){\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)z/r\\\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma -1){\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)(x+iy)/r\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma -1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)\\0\end{pmatrix}}}$

(Recuerde que . C es aproximadamente la mitad de lo que es para el orbital 1S, pero γ sigue siendo el mismo). ${\displaystyle \rho =2rC}$

Observe que cuando ρ es pequeño en comparación con α (o r es pequeño en comparación con ) domina el orbital de tipo "S" (el tercer componente del bispinor). ${\displaystyle \hbar c/(\mu c^{2})}$

Para el orbital de giro 2S _1/2 , tenemos:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma +1){\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)\\0\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma +1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)z/r\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma +1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)(x+iy)/r\end{pmatrix}}}$

Ahora el primer componente es tipo S y hay un radio cerca de ρ = 2 donde llega a cero, mientras que la parte inferior de dos componentes es tipo P.

Soluciones de energía negativa

Además de los estados ligados, en los que la energía es menor que la de un electrón infinitamente separado del núcleo, existen soluciones a la ecuación de Dirac con mayor energía, correspondientes a un electrón libre que interactúa con el núcleo. Estas soluciones no son normalizables, pero se pueden encontrar soluciones que tienden a cero cuando r tiende al infinito (lo cual no es posible excepto en los valores de estado límite de E mencionados anteriormente ). Hay soluciones similares con Estas soluciones de energía negativa son como soluciones de energía positiva que tienen la energía opuesta, pero para un caso en el que el núcleo repele al electrón en lugar de atraerlo, excepto que las soluciones para los dos componentes superiores cambian de lugar con aquellos para los dos últimos. ${\displaystyle |E|<\mu c^{2}}$ ${\displaystyle E<-\mu c^{2}.}$

Las soluciones de energía negativa a la ecuación de Dirac existen incluso en ausencia de una fuerza de Coulomb ejercida por un núcleo. Dirac planteó la hipótesis de que podemos considerar que casi todos estos estados ya están ocupados. Si uno de estos estados de energía negativa no está lleno, se manifiesta como si hubiera un electrón repelido por un núcleo cargado positivamente. Esto llevó a Dirac a plantear la hipótesis de la existencia de electrones cargados positivamente, y su predicción se confirmó con el descubrimiento del positrón .

Más allá de la solución de Gordon a la ecuación de Dirac

La ecuación de Dirac con un potencial de Coulomb simple generado por un núcleo puntual no magnético no fue la última palabra, y sus predicciones difieren de los resultados experimentales, como se mencionó anteriormente. Los resultados más precisos incluyen el desplazamiento de Lamb (correcciones radiativas que surgen de la electrodinámica cuántica ) ^[3] y la estructura hiperfina .

Ver también

• Átomo de Rydberg
• Positronio
• átomo exótico
• Átomo de dos electrones
• Ion molecular de hidrógeno

Notas

1. Esto fue observado ya en 1928 por EA Hylleraas, Z. f. Física vol. 48 , pág. 469 (1928). Traducción al inglés en H. Hettema, Quantum Chemistry, Classic Scientific Papers , pág. 81, World Scientific, Singapur (2000). Posteriormente fue señalado nuevamente por H. Shull y P.-O. Löwdin, J. Chem. Física. vol. 23 , pág. 1362 (1955).
2. Calculado a partir de la Tabla 4.1 en Felix Nendzig. "La teoría cuántica del átomo de hidrógeno" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 20 de octubre de 2013 . Consultado el 20 de octubre de 2013 .
3. Para la corrección radiativa, consulte Nendzig, opus citatum.

Referencias

• Gerald Teschl (2009). Métodos Matemáticos en Mecánica Cuántica; Con aplicaciones para operadores de Schrödinger. Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4660-5.
• Tipler, Paul y Ralph Llewellyn (2003). Física moderna (4ª ed.). Nueva York: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-4345-0